AIはなぜリーマン予想を解けないのか？
気になっていた事をChat-GPTに教えてもらって、まとめてもらいました。 2026年、AIが数学史に残る成果をあげた。ミレニアム懸賞問題の一つ、「ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ」に対して、有限時間で特異点が生じる例を構成したのである。 ところが、同じミレニアム懸賞問題である「リーマン予想」は、AIによって研究が進展しているものの、いまだ解決されていない。 なぜだろう。 両者には、問題の性質に重要な違いがある。 ナビエ–ストークス問題には、大きく二つの攻略法があった。「解は常に滑らかである」と証明するか、逆に「滑らかでなくなる場合がある」ことを示すかである。 後者なら、条件を満たす具体例を一つ構成できればよい。 これはAIの強みと相性がいい。膨大な候補を探索し、条件を変え、使えそうな補題や数学的構造を組み合わせ、「この構成ならうまくいくのではないか」という道筋を探すことができるからだ。 たとえるなら、 「このプログラムをクラッシュさせる入力を一つ見つけよ」 という問題に近い。 一方、リーマン予想は事情が違う。 リーマン予想は、ゼータ関数の非自明な零点が「すべて」実部1/2の直線上に存在するという主張である。 もちろん、この直線から外れた零点を一つ発見すればリーマン予想は否定できる。しかし、これまで膨大な探索が行われても、そのような零点は発見されていない。 そこで予想が正しいことを示そうとすると、「調べた零点は全部そうだった」では足りない。無限に存在する零点について、なぜ必ずそうなるのかを数学的に証明しなければならない。 これは、 「このプログラムをクラッシュさせる入力を探せ」 ではなく、 「このプログラムは、どんな入力を与えても絶対にクラッシュしないことを証明せよ」 という問題に近い。 100兆通り試して一度もクラッシュしなくても、それは証明にはならない。 ここに、現在のAIにとっての難しさがある。 AIは膨大な探索空間から有望な構成や証明の道筋を発見する能力を急速に高めている。しかしリーマン予想を解くには、単に探索量を増やすだけではなく、「なぜゼータ関数の零点はそのように並ぶのか」を説明する、これまで知られていなかった数学的構造や新しい理論そのものが必要なのかもしれない。 ナビエ–ストークス問題とリーマン予想の違いは、単なる「難易度の差」ではない。 ...
